• Kennen diskrete und stetige Zufallsvariablen
• Kennen Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Dichtefunktionen
• Kennen Verteilungsfunktionen
• Verstehen den Zusammenhang zwischen
  • Art der Zufallsvariablen (diskret/ stetig)
  • Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Dichtefunktionen
  • Verteilungsfunktionen
  • Wahrscheinlichkeit

1. Rückblick
2. Fragen zum Erklärvideo/ Aufgaben
3. Diskrete Zufallsvariablen
   • Wahrscheinlichkeitsverteilung
   • Verteilungsfunktion
4. Stetige Zufallsvariablen
   • Dichtefunktion
   • Verteilungsfunktion

Ziel: Aussagen über allgemeine Gesetzmäßigkeiten in/ Merkmale der Population

• Stichprobenansatz nötig
• Schwankungen der Stichprobenkennwerte, u.a.
  • Größe Stichprobe
  • Art der Stichprobenziehung
  • …

Wahrscheinlichkeit, um Risiko zu quantifizieren

In der empirischen Sozialforschung interessiert uns u.a. die Abhängigkeit/ Unabhängigkeit zweier Ereignisse. Zwei Ereignisse sind dann unabhängig, wenn

• die bedingten Wahrscheinlichkeiten gleich
• der unbedingten Wahrscheinlichkeit ist.

Formal: \(P(A|B) = P(A)\)

Berechnen Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten (nächste Folie).

Sie sehen hier eine Häufigkeitstabelle, in der die Anzahl der Autos nach Art der Gangschaltung und Anzahl der Gänge abgetragen sind.
Berechnen Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten eine Automatik Gangschaltung zu haben, unter der Bedingung 3 Gänge (oder 4 oder 5) zu haben.

\(P(Automatik | 3 Gänge) = ?\)
\(P(Automatik | 4 Gänge) = ?\)
\(P(Automatik | 5 Gänge) = ?\)

Beispiel Onlinekurs Computational Thinking: Mein Kurs (515 Punkte) war weit über dem standardisierten Mittelwert (500 Punkte), deshalb wirkt mein Kurs!

• immer Möglichkeit der falschen Entscheidung

• bemüht Risiko gering zu halten

Risiko quantifizieren

Zufallsvariable (ZV) \(X: \Omega \rightarrow \Omega'\)

• Weisen Ereignissen eine Zahl zu
• beschreibt Ergebnisse eines Zufallsexperiments \(\Omega\) in einem Zahlenraum \(\Omega'\)

Diskrete ZV: Ausprägungen der ZV sind endlich abzählbar

Zufallsvariable (ZV) \(X: \Omega \rightarrow \Omega'\)

• Zusammenhang zwischen Ereignissen und Konsequenzen
• beschreibt Ergebnisse eines Zufallsexperiments \(\Omega\) in einem Zahlenraum \(\Omega'\)

Diskrete ZV: Ausprägungen der ZV sind endlich abzählbar

Beispiel
Uns werden Wetten angeboten, in denen es darum geht,

• wie oft “Kopf”
• beim 3-fachen Münzwurf

sichtbar sein wird.
Welche Wahrscheinlichkeiten haben die einzelnen Möglichkeiten?

Stetige ZV: Zwischen zwei Werten (\(x_1, x_2\)) können unendlich viele Werte angenommen werden.

Beispiel
Intuitiv: Wenn wir unendlich genau messen könnten, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person exakt 170,000…cm groß ist?

• Lösung: Wahrscheinlichkeiten von Intervallen
• Dichtefunktion: Funktion, die die WK eines Intervals angibt
• Fläche unter Interval = Wahrscheinlichkeit

Beispiel
Zeit, die Sie im Wartezimmer warten müssen, wenn die Behandlungszeit immer genau 5min beträgt.
Uniformverteilung: https://ggbm.at/ck6pfwue

:= Wahrscheinlichkeit der ZV den Wert \(x\) oder kleiner anzunehmen

Wahrscheinlichkeit des Intervals von \(x_1 = - \infty\) bis \(x_2 = x\)

Elaborieren Sie anhand der App (https://ggbm.at/uRcrDyKj) die Dichte- & Verteilungsfunktion:

Aufgabe 1
Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt eine Person im Intervall \(x_1=-1\) und \(x_2=1\), wenn der Kompetenztest auf \(\mu=0\) und \(\sigma=1\) standardisiert ist? Erklären Sie sich gegenseitig, wie Sie auf die Lösung gekommen sind.

Aufgabe 2
Ich hatte behauptet, dass mein Onlinekurs zum Computational Thinking super erfolgriech ist. Wäre der Test auf \(\mu=0\) und \(\sigma=2\) normiert gewesen, hätte meine Gruppe einen Wert von \(x=.10\) erzielt. Wie wahrscheinlich ist es, diesen oder einen noch höheren Wert zu erzielen? Wie gut ist also mein Argument?